Dynamics of the Sixth Painlevé Equation

— The sixth Painlevé equation is hiding extremely rich geometric structures behind its outward appearance. In this article, we give a complete picture of its dynamical nature based on the Riemann-Hilbert approach recently developed by the authors and using various techniques from algebraic geometry. A large part of the contents can be extended to Garnier systems, while this article is restricted to the original sixth Painlevé equation. Résumé (Dynamique de la sixième équation de Painlevé). — Malgré une apparente simplicité, l’équation de Painlevé VI cache des structures géométriques très riches. Nous en décrivons les aspects dynamiques en nous appuyant sur l’approche de type RiemannHilbert récemment développée par les auteurs et en utilisant différentes techniques issues de la géométrie algébrique. Une grande partie de ces résultats peut être étendue aux systèmes de Garnier. Toutefois, dans cet article, nous nous limitons au cas de l’équation de Painlevé VI.